【高中數學】數列與級數｜公式整理(上)

前言

數列與級數，這個名詞在國中已經看過了，其實高中這塊前半部分跟國中基本上是一樣的內容了，不過為了完整性，我還是先提一下。

一、數列

定義：

數列，將一連串數字排列出來就可以稱之為數列，例如：02,12,79,26,48,05

它們之間不需要有任何特別的關係，只要將它們排排站好就可以了，所以樂透彩券的開獎號碼也是一種數列。

一個數列我們可以用符號 ${a_{n}}$ 或是 $a_{n}$ 來表示數列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n} . . .$

而其中 $a_{1}$ 是第一項，或稱首項， $a_{2}$ 是第二項，依此類推： $a_{n}$ 為第n項，又可稱為一般項

1. 等差數列

等差數列，顧名思義就是數列中每兩項之間的差都是相等的。

例如：2,4,6,8,10,12,14,16...兩兩之間都相差2，或是：5,10,15,20,25,30,35...兩兩之間都相差5。

(1)遞迴關係式：

${\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n} = a_{n - 1} + d \end{cases}$

其中 $n$ 為正整數，且 $n \geq 2$

其中 $a$ 為首項， $d$ 是公差
（注：公差的意思就是等差數列中的差，例如：等差數列 2,4,6,8,10 中，公差d＝2）

(2)一般項： $a_{n} = a + (n - 1) d$

(3)若 a,b,c 三數成等差，則b為a、c的等差中項（算術平均數）

$b = \frac{a + c}{2}$ or $2 b = a + c$

推導：

$∵ a 、 b 、 c 成等差\to用 a 、 a + d 、 a + 2 d 代換$

$依公式， b = \frac{a + c}{2}$

$置換成 b = \frac{a + (a + 2 d)}{2}$

$∴ b = \frac{2 a + 2 d}{2} = a + d$

2. 等比數列

等比數列，意思就是每一項與前一項的比值都是相等的。

例如：2,4,8,16,32,64...2和4之間的比值是2，4和8之間的比值也是2，依此類推，該數列中前後兩個數字的比值都是2，所以稱之為等比。

(1)遞迴關係式：

${\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n} = r a_{n - 1} \end{cases}$

其中 $n$ 是正整數，且 $n \geq 2$

(2)一般項： $a_{n} = a r^{n - 1}$

(3)若 a,b,c 三數成等比，則b為a、c的等比中項 $b = \pm \sqrt{a c} \Rightarrow b^{2} = a c$

推導：

$∵ a, b, c 成等比\to用 a, a r, a r^{2} 代換$

$依公式， b = \pm \sqrt{a c}$

$置換成 b = \pm \sqrt{a (a r^{2})}$

$∴ b = \pm \sqrt{a^{2} r^{2}} = \pm \sqrt{{(a r)}^{2}} = \pm a r (取正)$

二、級數

定義：
$假設數列是 a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n} ，將它們全部用"＋"號串聯成 a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} 便是級數。$
$而我們常將前 n 項的和用 S_{n} 來表示，因此 S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$

1. 等差級數

$總和公式 S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$

口訣：(首項+末項)×項數÷2

近似於：梯形公式:：(上底+下底)×高÷2

(注： S_{n} - S_{n - 1} = a_{n} (n \geq 2) 但 a_{1} = S_{1})

2. 等比級數

$總和公式 S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

推導：

$S_{n} = a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} + . . . + a_{1} r^{n - 1} －－－ ①$
$r S_{n} = a_{1} r + a_{1} r^{2} + . . . + a_{1} r^{n - 1} + a_{1} r^{n} －－－ ②$
①－②
$\Rightarrow (1 - r) S_{n} = a_{1} - a_{1} r^{n} = a_{1} (1 - r^{n})$ $\Rightarrow∴ S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} 或 \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1} 且 (r \neq 1)$

高中 | 數列與級數 | 公式整理(下) ｜2023.10月更新

這部分要來講的是高中很常出現的符號∑，如果你是要找如何算出an項，或是求Sn，可能就要請你去看上集，我會把連結放在文章下方，到時候再請你連過去囉。

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