【高中數學】數列與級數｜公式整理(下)｜2023.10月更新

前言：

這部分要來講的是高中很常出現的符號\sum，如果你是要找如何算出a_n項，或是求S_n，可能就要請你去看上集，我會把連結放在文章下方，到時候再請你連過去囉。

那我們就開始囉！

＝＝＝＝＝如果公式沒有跑出來的話麻煩稍微等一下喔～＝＝＝＝＝

這個\sum符號讀作Sigma，中文唸作西格瑪

定義：

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+...+a_n$$

三大性質：

性質1：$$\sum _{k=1}^{n}c=nc$$

推導：\sum _{k=1}^{n}c=c+c+...+c=nc

性質2：$$\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k$$

推導：
左式＝c{a}_1+c{a}_2+...+c{a}_n，
因為乘法分配律，所以可以把c提出來，
變成c(a_1+a_2+...+a_n)，
$$\Rightarrow c\sum _{k=1}^n{a}_k$$

性質3：$$\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k$$

推導：
左式＝(a_1\pm b_1)+(a_2\pm b_2)+...+(a_n\pm b_n)，
因為加法有交換率，所以可以先把a_n，b_n先分別加起來，再做加(減)，
變成(a_1+a_2+...a_n)\pm (b_1+b_2+...+b_n)，
然後再把他們換成Sigma$$\Rightarrow \sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k$$

考試愛考的三大公式 ：

1.$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}=1+2+...+n$$

2.$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=1^2+2^2+...+n^2$$
3.$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2=1^3+2^3+...+n^3$$
公式3可以利用公式1來幫助記憶，但把公式2做平方不會得到4次方的公式呦

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